基本代数结构
群(Group)
定义
$一个集合G\neq \varnothing ,有一个二元运算\times,使得G \times G\to G$
性质
- $(ab)c=a(bc) \qquad 结合律$
- $\exists \ e \in G,使得 \ ae=ea=a,\forall a\in G\qquad 有单位元 $
- $\forall a \in G ,\exists\ b \in G,s.t.ab=ba=e \qquad 存在逆元$
* 4.$ab=ba,\forall a,b \in G \qquad 交换律（有时可以不满足）$
阿贝尔群
环(Ring)
对加法：阿贝尔群
对乘法：满足结合律（交换环）、分配律
==域(Field)==
$(F,+,\times)$
对加法：阿贝尔群
对乘法：$F/\{0\}是阿贝尔群$
结合律、分配律
$\exists e,ae=ea=a$
$\forall a \neq 0 \quad aa^{-1}=a^{-1}a=e$
*最小的数域是有理数域
例
$\Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in \Q\}$
$\alpha=a+b\sqrt{2},\alpha\neq 0$
$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\in \Q(\sqrt{2})$